증명 한두 문제쯤 버려도 괜찮다고 생각했던 아이들

중2 2학기, 삼각형의 성질 단원에 들어서면 시험 공부 전략을 이렇게 말하는 아이들이 있어요. "증명은 어차피 한두 문제니까 버리고 계산 문제만 다 맞힐래요." 점수만 놓고 보면 영리한 계산처럼 보여요. 실제로 그렇게 해서 90점대를 받는 아이도 많고요.

그런데 몇 년 뒤 고등학교 교실에서 이 아이들을 다시 만나면 비슷한 데서 막혀 있어요. 풀이를 쓰라고 하면 답만 덩그러니 쓰고, 왜 그런지 설명하라고 하면 "그냥 그렇게 돼요"라고 말해요. 중학교에서 버린 한두 문제가 이렇게 돌아와요.

증명은 수학의 문장 쓰기예요

증명 문제를 싫어하는 이유를 물어보면 대부분 "뭘 써야 할지 모르겠어요"라고 해요. 계산 문제는 답이 숫자 하나로 떨어지는데, 증명은 무엇을 몇 줄 써야 정답인지 감이 안 온다는 거죠. 맞는 말이에요. 증명은 글쓰기에 가까워요.

글쓰기와 마찬가지로 증명에도 순서가 있어요. 무엇이 주어졌는지, 무엇을 보여야 하는지, 그 사이를 어떤 근거로 이을지. 이등변삼각형의 두 밑각이 같다는 걸 보이려면 꼭짓점에서 선을 하나 내려 삼각형 두 개로 나누고, 두 삼각형이 합동이라는 근거를 찾아야 해요. 이 과정을 한 번 제대로 써 보면, 이게 단순한 시험 문제가 아니라 생각을 차례대로 정리하는 훈련이라는 걸 알게 돼요.

고등학교 서술형은 증명의 친척이에요

고등학교 수학 시험에는 서술형 문항이 꼭 있어요. 답만 맞으면 끝나는 게 아니라 풀이 과정을 채점해요. 학교마다 다르지만 서술형 배점이 꽤 크고, 단계마다 점수가 나뉘어 있는 경우가 많아요. 그런데 이 서술형에서 감점을 받는 이유를 보면 대부분 계산 실수가 아니에요. 근거를 빠뜨리거나, 순서가 뒤죽박죽이거나, 왜 그 식이 나왔는지 설명이 없어서예요.

중학교 증명을 꾸준히 써 본 아이는 이 부분이 훨씬 자연스러워요. "~이므로", "따라서" 같은 말을 어디에 넣어야 하는지 손이 알고 있거든요. 증명은 서술형 답안의 가장 작은 연습장이었던 셈이에요.

합동 조건을 근거로 쓰는 연습부터

증명이 막막하다면 가장 작은 단위부터 시작해 보세요. 중학교 도형 증명의 상당 부분은 결국 두 삼각형이 합동임을 보이는 일로 모여요. 세 변이 같은지, 두 변과 그 사이 각이 같은지, 한 변과 양 끝 각이 같은지. 이 세 가지 합동 조건을 단순히 외우는 데서 끝내지 말고, 문제마다 "어떤 조건을 쓸 수 있을까?"를 먼저 묻는 연습을 하는 거예요.

처음에는 교과서 예제의 증명을 그대로 베껴 써도 괜찮아요. 베껴 쓰면서 각 줄에 붙은 근거를 소리 내어 읽어 보세요. 그다음에는 책을 덮고 같은 증명을 기억으로 써 보고, 막히는 줄에서 다시 책을 펴 보는 거예요. 이걸 서너 번 하면 증명의 뼈대가 눈에 들어오기 시작해요.

증명을 쓰기 전에 그림에 표시하는 습관도 큰 도움이 돼요. 같은 길이의 변에는 같은 표시를, 같은 각에는 같은 호를 그려 두는 거예요. 문제에서 주어진 조건과 그림에서 새로 알아낸 사실을 다른 색으로 표시하면 더 좋고요. 그렇게 해 두면 합동 조건에 필요한 재료 세 개가 그림 위에서 먼저 보이고, 증명은 그걸 문장으로 옮기기만 하면 돼요.

버리기 전에 한 번 붙잡아 볼 이유

중학교 시험에서 증명이 차지하는 점수는 작아요. 그래서 버리고 싶은 마음도 이해가 돼요. 하지만 그 작은 점수 뒤에는 고등학교 3년 동안 계속 필요한 힘이 숨어 있어요. 근거를 대며 차례로 설명하는 힘이요. 이건 수학뿐 아니라 과학 서술형, 국어 논술형 문항에도 그대로 쓰여요.

부모님이 집에서 도와줄 수 있는 것도 있어요. 아이가 증명 문제를 풀었다면 "왜 이 두 삼각형이 합동이야?"라고 한마디만 물어봐 주세요. 내용을 모르셔도 괜찮아요. 아이가 근거를 말로 꺼내 보는 것 자체가 연습이 되거든요. 대답이 막히더라도 답을 알려 주시기보다 "내일 다시 생각해 보자" 정도로 남겨 두시는 편이 좋아요.

오늘은 한 줄씩만

이번 시험 범위에 증명 문제가 있다면 오늘은 딱 하나만 골라서, 각 줄 옆에 그 줄이 왜 맞는지 근거를 한 단어씩 적어 보세요. 대응변, 맞꼭지각, 엇각처럼요. 한 줄씩 근거를 붙이는 일이 익숙해지면, 증명은 더 이상 버려야 할 문제가 아니라 확실하게 챙길 수 있는 점수가 됩니다.